Franklin nació el 25 de julio de 1920 en el número 50 de Chepstow Villas, Notting Hill, Londres, en una familia judía británica. Su padre fue Ellis Arthur Franklin (1894-1964), un banquero políticamente liberal de Londres que enseñaba en el Colegio de Hombres Trabajadores de la ciudad, y su madre era Muriel Frances Waley (1894-1976). Rosalind era la segunda de cinco hijos. Su hermano mayor era David (nacido en 1919), y sus hermanos menores eran Colin (1923-2020), Roland (nacido en 1926) y Jenifer (nacida en 1929).
El tío paterno de Franklin fue Herbert Samuel (más tarde vizconde Samuel), quien ocupó el cargo de secretario del Interior en 1916 y fue el primer judío en ejercicio que sirvió en el gabinete británico. Su tía, Helen Caroline Franklin, conocida en la familia como Mamie, estuvo casada con Norman de Mattos Basteix, quien fue el fiscal general británico a cargo de Palestina. Helen fue una activista destacada en el movimiento sindical y en la lucha por el sufragio femenino, además de ser miembro del Consejo del Condado de Londres. Otro tío de Franklin, Hugh Franklin, también fue una figura prominente en el movimiento sufragista, aunque sus acciones llegaron a avergonzar a la familia Franklin. El segundo nombre de Rosalind, "Elsie", fue en honor a la primera esposa de Hugh, quien falleció en la pandemia de gripe de 1918.
Su familia estuvo activamente involucrada en el Working Men's College, donde su padre enseñaba temas como electricidad, magnetismo e historia de la Gran Guerra por las tardes, y más tarde llegó a ser subdirector.
Los padres de Franklin ayudaron a acoger refugiados judíos que habían escapado de los nazis en Europa, especialmente a través del Kindertransport. Alojaron en su casa a dos niños judíos, uno de ellos un niño austríaco de nueve años. El padre de este niño, Hans Mathias Eisenstädter, había sido encarcelado en Buchenwald y, tras su liberación, la familia adoptó el apellido "Ellis".